- Professore
- Giuseppe Marino
Prove del prof Marino di diversi anni (ingegneria elettronica e informatica, Vanvitelli) corso di algebra e geometria da 9CFU. Prima di ogni prova c'è anche il pre-test che il prof è solito fare prima di cominciare a correggere un compito.
PROGRAMMA STUDIATO:
• Vettori numerici e matrici su un campo K. Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni interne ed esterne. Relazione d'ordine e di equivalenza su un insieme. Definizione di campo. Il campo dei numeri reali e il campo dei numeri complessi. Operazioni tra vettori numerici e struttura di spazio vettoriale di Kn. Prodotto scalare numerico e sue proprietà. Operazioni tra matrici ad elementi in K: struttura di spazio vettoriale sull’insieme Km,n delle matrici di tipo (m,n). Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Operazioni elementari sulle righe di una matrice, algoritmo di riduzione a gradini. Determinante di una matrice quadrata, proprietà elementari e teoremi di Laplace e Binet (senza dim). Matrici invertibili. Rango di una matrice e teorema degli orlati (senza dim). Metodi per calcolare il rango. Matrici ortogonali.
• Sistemi di equazioni lineari. Definizione di equazione lineare e di sistema di equazioni lineari nelle indeterminate x1, x2,., xn a coefficienti in un campo K. Sistemi compatibili ed incompatibili. Primo criterio di compatibilità (con dim), teorema di Rouchè-Capelli (con dim). Algoritmo di Gauss-Jordan per la risoluzione di un sistema lineare e “numero” di soluzioni di un sistema lineare. Sistemi di Cramer e metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare (con dim).
• Spazi vettoriali su un campo K. Definizione di spazio vettoriale e proprietà elementari. Esempi: spazi vettoriali numerici, spazio delle matrici, spazio dei vettori applicati (del piano e dello spazio). Sottospazi vettoriali e operazioni tra essi: intersezione, sottospazio generato. Somma e somma diretta di due sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Spazi vettoriali di dimensione finita: sistemi di generatori, basi e riferimenti, dimensione. Lemma di Steinitz (senza dim.). Equipotenza delle basi di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita e loro dimensione. Relazione di Grassmann (senza dim). Proprietà della coordinazione, equazione dei sottospazi in un riferimento fissato. Il sottospazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Teorema di rappresentazione dei sottospazi di Kn.
• Diagonalizzazione di matrici. Matrici simili. Definizione di matrice diagonalizzabile. Autovettori, autovalori e autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Polinomio caratteristico di una matrice. Teorema spettrale (senza dim), ricerca di una base di autovettori.
• Spazi vettoriali euclidei standard. Prodotto scalare standard in Rn: disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, modulo della somma, disuguaglianza di Minkowski (o triangolare). Angolo fra due vettori, parallelismo e ortogonalità. Versori, basi ortonormali. Complemento ortogonale di un sottospazio: proprietà e dimensione; casi particolari per n=2,3. Prodotto scalare standard tra vettori geometrici. Prodotto vettoriale: definizione, proprietà e significato geometrico.
• Elementi di Geometria Analitica. Spazio vettoriale dei vettori applicati del piano e dello spazio. Definizione di piano euclideo E2 e spazio euclideo E3 . I sottospazi affini di E2 ed E3: rette e piani. Distanza, angoli, parallelismo e ortogonalità. Riferimento cartesiano e coordinate. Formule di trasformazione delle coordinate. Rappresentazione analitica di rette nel piano e di rette e piani nello spazio. Formule di geometria analitica nel piano e nello spazio. Rette complanari e sghembe e condizioni analitiche. Parallelismo e ortogonalità (totale e parziale) tra sottospazi affini di E2 ed E3. Distanza di un punto da una retta e da un piano, distanza tra due rette e distanza tra due piani. Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano. Simmetrico di un punto rispetto ad un punto, rispetto ad una retta e rispetto ad un piano. Simmetrie ortogonali dello spazio euclideo di asse una retta o un piano.
PROGRAMMA STUDIATO:
• Vettori numerici e matrici su un campo K. Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni interne ed esterne. Relazione d'ordine e di equivalenza su un insieme. Definizione di campo. Il campo dei numeri reali e il campo dei numeri complessi. Operazioni tra vettori numerici e struttura di spazio vettoriale di Kn. Prodotto scalare numerico e sue proprietà. Operazioni tra matrici ad elementi in K: struttura di spazio vettoriale sull’insieme Km,n delle matrici di tipo (m,n). Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Operazioni elementari sulle righe di una matrice, algoritmo di riduzione a gradini. Determinante di una matrice quadrata, proprietà elementari e teoremi di Laplace e Binet (senza dim). Matrici invertibili. Rango di una matrice e teorema degli orlati (senza dim). Metodi per calcolare il rango. Matrici ortogonali.
• Sistemi di equazioni lineari. Definizione di equazione lineare e di sistema di equazioni lineari nelle indeterminate x1, x2,., xn a coefficienti in un campo K. Sistemi compatibili ed incompatibili. Primo criterio di compatibilità (con dim), teorema di Rouchè-Capelli (con dim). Algoritmo di Gauss-Jordan per la risoluzione di un sistema lineare e “numero” di soluzioni di un sistema lineare. Sistemi di Cramer e metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare (con dim).
• Spazi vettoriali su un campo K. Definizione di spazio vettoriale e proprietà elementari. Esempi: spazi vettoriali numerici, spazio delle matrici, spazio dei vettori applicati (del piano e dello spazio). Sottospazi vettoriali e operazioni tra essi: intersezione, sottospazio generato. Somma e somma diretta di due sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Spazi vettoriali di dimensione finita: sistemi di generatori, basi e riferimenti, dimensione. Lemma di Steinitz (senza dim.). Equipotenza delle basi di uno spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita e loro dimensione. Relazione di Grassmann (senza dim). Proprietà della coordinazione, equazione dei sottospazi in un riferimento fissato. Il sottospazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Teorema di rappresentazione dei sottospazi di Kn.
• Diagonalizzazione di matrici. Matrici simili. Definizione di matrice diagonalizzabile. Autovettori, autovalori e autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Polinomio caratteristico di una matrice. Teorema spettrale (senza dim), ricerca di una base di autovettori.
• Spazi vettoriali euclidei standard. Prodotto scalare standard in Rn: disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, modulo della somma, disuguaglianza di Minkowski (o triangolare). Angolo fra due vettori, parallelismo e ortogonalità. Versori, basi ortonormali. Complemento ortogonale di un sottospazio: proprietà e dimensione; casi particolari per n=2,3. Prodotto scalare standard tra vettori geometrici. Prodotto vettoriale: definizione, proprietà e significato geometrico.
• Elementi di Geometria Analitica. Spazio vettoriale dei vettori applicati del piano e dello spazio. Definizione di piano euclideo E2 e spazio euclideo E3 . I sottospazi affini di E2 ed E3: rette e piani. Distanza, angoli, parallelismo e ortogonalità. Riferimento cartesiano e coordinate. Formule di trasformazione delle coordinate. Rappresentazione analitica di rette nel piano e di rette e piani nello spazio. Formule di geometria analitica nel piano e nello spazio. Rette complanari e sghembe e condizioni analitiche. Parallelismo e ortogonalità (totale e parziale) tra sottospazi affini di E2 ed E3. Distanza di un punto da una retta e da un piano, distanza tra due rette e distanza tra due piani. Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano. Simmetrico di un punto rispetto ad un punto, rispetto ad una retta e rispetto ad un piano. Simmetrie ortogonali dello spazio euclideo di asse una retta o un piano.