[Analisi 2 (6 CFU) - Professoressa Gabriella Zecca] Info Esame

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Esame: Analisi Matematica 2 6 CFU

Tempo impiegato per la preparazione: tutta la durata del corso, svolgendo entrambe le prove intercorso con orale a giugno(pochi giorni dopo la seconda prova)

Libri/Appunti utilizzati: esclusivamente gli appunti della professoressa(scritti da lei su Good Notes e condivisi su teams dopo ogni lezione) e il libro Marcellini-Sbordone occasionalmente per chiarire le idee nelle dimostrazioni poco chiare

Consigli per lo scritto: lo scritto della professoressa non presenta esercizi realmente difficili ma la difficoltà principale è il tempo a disposizione(la professoressa dà anche 2 ore e mezza ma a volte può succedere di perdersi in conti vari), la prova scritta è quindi "una prova a tempo", consiglio quindi di iniziare ad esercitarsi sulle prove messe a disposizione dalla professoressa sul sito docenti(e farle assolutamente tutte) misurando il tempo impiegato. Dopo una buona dose di tracce svolte lo scritto diventa abbastanza abbordabile.

Contenuti dello scritto: il compito fino agli appelli del 2022 presenta i seguenti esercizi:

• 10 domande di teoria di cui 8 crocette e 2 domande aperte(solitamente una definizione ed un enunciato di un teorema)
• Esercizio sullo studio della convergenza puntuale/uniforme di successioni di funzioni oppure studio della convergenza totale di una serie di funzioni
• Studio di continuità/derivabilità/differenziabilità di una funzione a 2 variabili reali
• Ricerca e classificazione dei punti critici di una funzione di 2 variabili reali
• Studio di una forma differenziale in R^2 e spesso calcolo di un integrale curvilineo(di forma differenziale)
• Calcolo di un integrale doppio/triplo oppure calcolo di un flusso mediante definizione o teorema della divergenza
• Problema di Cauchy per una qualsiasi delle tipologie di equazioni differenziali studiate durante il corso(a volte può capitare di studiare un'equazione differenziale non lineare da risolvere per separazione di variabili della quale si chiede di dimostrare anche esistenza e unicità di soluzione con i teoremi di Cauchy)

Domande ricevute all'orale: domande che ho ricevuto personalmente al mio orale

• Dimostrazione del Teorema di Integrazione delle Forme Differenziali Esatte
• Teoria delle Superfici Regolari
• Teorema di Continuità del Limite Uniforme

Osservazioni: come ho già scritto precedentemente lo scritto è solo questione di esercizi e di allenamento sul tempo di svolgimento, raramente è capitato di vedere esercizi davvero davvero impossibili e la maggior parte degli errori deriva principalmente da problemi di calcolo. Per quanto riguarda la prova orale generalmente dipende dall'esito dello scritto, può capitare di ricevere 2 domande come può capitare di passare 1 ora intera all'interrogazione. L'orale(almeno fino al 2022) si svolge in forma scritta, cioè la professoressa chiama i candidati uno per volta scrivendo le domande sul foglio alle quali si risponde da posto, successivamente si viene chiamati per commentare le risposte(e quindi poi si conclude l'esame oppure si ricevono altre domande). All'orale la professoressa non è pressante, dà il giusto tempo che serve per riflettere ma(giustamente) tollera poco le "corbellerie" tipiche di impara le dimostrazioni a memoria oppure tenta l'esame a fortuna senza aver davvero studiato. Il mio consiglio, se si sta seguendo il corso, è di iniziare a studiare teoremi e dimostrazioni(e quindi iniziare a preparare l'orale) ancora prima di preparare lo scritto, io seguendo questa strada non ho avuto alcun problema.

Domande frequenti nella prova orale: termino allegando le principali domande che vengono di solito fatte durante la prova orale e alle quali generalmente si tiene di più:

• Teorema del Differenziale
• Teorema di Schwarz
• Dimostrazione della Formula del Gradiente per il calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili
• Significato geometrico del gradiente di una funzione differenziabile
• Formula di Stokes(con dimostrazione in R^2)
• Integrale Generale di una EDO Lineare a coefficienti costanti
• Significato geometrico della differenziabilità(esistenza del piano tangente)
• Dimostrazione del teorema della divergenza in R^2
• Continuità delle funzioni differenziabili
• Teorema di Fermat in 2 variabili
• Teoremi sui passaggi al limite per successioni di funzioni
• Dimostrazione delle Formule di Gauss-Green