Svolgiamo insieme TRASFORMATA DI FOURIER

[Marcellov97]

Bisogna calcolare la trasformata di Fourier di una funzione x(t).
Il fatto è che questa funzione ha un delta minore di 0, il che significa che il risultato sarà complesso. All'inizio avevo il dubbio, perché credevo che x(t) fosse un funzione a valori reali non nel campo complesso. Sono andato dal prof. Nitsch e mi ha detto che dovevo considerarla come a valori complessi.

Allora cerco i poli della funzione, che sono complessi coniugati. Uso la formula di scomposizione per questi casi e mi trovo x(t) scomposta.
Il problema è che non ho la minima idea di quale sia la trasformata di Fourier di questa funzione. Mi sono bloccato perché non so come procedere per trasformare un polinomio.

P.S. alla fine ho cambiato il nome della variabile da t a s perché mi sono confuso ma non cambia nulla.

 

[fedro]

Stai procedendo come se dovessi risolvere una trasformata di Laplace, ecco perché non riesci a trasformare la funzione.
La trasformata di Fourier è definita come l'integrale su tutto l'asse reale della funzione moltiplicata per e^-iωt. Quando la funzione è nota o la restrizione a un periodo (es. [u(t) - u(t - pi)]*sin(t) ) puoi evitare di integrare e usare le proprietà formali estese alle distribuzioni temperate, in questo caso tuttavia hai una funzione continua su tutto ℝ, quindi devi per forza integrare.
Per risolvere l'integrale conviene usare il teorema dei residui e il lemma di Jordan. Nello specifico, a seconda del segno di ω dovrai calcolare i residui nei poli con parte immaginaria positiva (se anche ω è positiva) o negativa, e quindi moltiplicarli per sgn(ω)* 2*pi*i.
In questo caso, se ω > 0 la trasformata sarà 2*pi*i*Res(f * e^-iωt, -1/2 + i), se invece ω < 0 sarà -2*pi*i*Res(f * e^iωt, -1/2 - i).