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Traccia TS 14/09/2015 - Traccia TS - Gelli
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Traccia TS 14/09/2015
- Autore discussione Agiulio
- Data d'inizio
Io mi trovo:
a) a = 1;
b) P(X>1/2) = 3/4;
c) P(Y<=0) = 3/4;
d) P(0<Y<X) = 1/4;
Non ho ancora fatto il primo esercizio. Solo io l'ho trovato assurdo? Sbaglio o le ultime due prove sono state particolarmente difficili? Il secondo lo sono riuscito a fare solo a casa (o almeno credo), dopo non poche difficoltà.
a) a = 1;
b) P(X>1/2) = 3/4;
c) P(Y<=0) = 3/4;
d) P(0<Y<X) = 1/4;
Non ho ancora fatto il primo esercizio. Solo io l'ho trovato assurdo? Sbaglio o le ultime due prove sono state particolarmente difficili? Il secondo lo sono riuscito a fare solo a casa (o almeno credo), dopo non poche difficoltà.
Il primo esercizio di ieri era davvero improponibile! Mai visto un esercizio del genere. La penultima era di media difficoltà, io passai anche allo scritto (e fui bocciato all'orale T_T tra l'altro con una domanda proprio sul filtro RC che avevo saltato xD )
Comunque riguardo al punto b)... dopo aver risolto il primo integrale (quello in dy) dovresti trovarti 1, che poi integrandolo in dx viene x, che nell'intervallo tra 1 e 1/2 fa 1/2.
Comunque riguardo al punto b)... dopo aver risolto il primo integrale (quello in dy) dovresti trovarti 1, che poi integrandolo in dx viene x, che nell'intervallo tra 1 e 1/2 fa 1/2.
Nel punto b mi trovo che devo fare l'integrale tra 1/2 e 1 di (-3x^2 + 3x +1).
[EDIT] Il risultato corretto è il tuo, ho controllato su Wolfram. Ora vedo un po' dove ho sbagliato!
[EDIT] Il risultato corretto è il tuo, ho controllato su Wolfram. Ora vedo un po' dove ho sbagliato!
anche io mi trovavo cosi, dopo averlo rifatto non so quante volte. Sbagliavo sempre un segno da qualche parte (soprattutto con il cubo del binomio). Io proprio grazie a wolfram me ne sono accorto. Alla fine dovresti trovarti che si annullano tutti i termini con le x.Nel punto b mi trovo che devo fare l'integrale tra 1/2 e 1 di (-3x^2 + 3x +1).
[EDIT] Il risultato corretto è il tuo, ho controllato su Wolfram. Ora vedo un po' dove ho sbagliato!
Sì, mi ero perso un quadrato. Ora mi trovo, tutto ok.
Ho provato a fare il secondo esercizio e mi trovo:
a) y(n) = alfa/2 * [cos(pi*n/2) + sin(pi*n/2)];
b) alfa = +-2;
Sì, mi ero perso un quadrato. Ora mi trovo, tutto ok.
Ho provato a fare il secondo esercizio e mi trovo:
a) y(n) = alfa/2 * [cos(pi*n/2) + sin(pi*n/2)];
b) alfa = +-2;
Io ho problemi a impostare l'esercizio.
Innanzitutto riscrivo la risp impulsiva fornita in modo da far uscire una "sinc" cosi è più facile da trasformare, e in frequenza diventa
H(v) = 2 pi rep1 [rect (4v) ]
(pi = pigreco ; rep1 = replicazione di passo 1 ; v = ni)
x(n) è periodico quindi si trasforma prima xg(n) --> X(v) = a D2(v) + D4 (v)
(D è la funzione di dirichlet)
Ora qui io avevo pensato di sfruttare la risposta a un segnale periodico dei sistemi LTI (1.6.8 sul formulario)
e quindi verrebbe y(n) = 1/4 Sommatoria [da 0 a 3] di X(k) H(k v0) e^(j 2 pi k v0 n)
ma non ne sono sicuro perchè è un pò lunga e complicata come espressione...
tu come ci sei arrivato?
Dunque, per quanto riguarda la risposta impulsiva a me viene:
h(n) = pi/2 * sinc(n/4) * cos(2*pi*1/4*n)
A questo punto ho applicato la proprietà di modulazione della trasformata di Fourier (proprietà 7, pagina 15 del formulario). Trasformando la sinc e traslando come dice la proprietà, in definitiva mi viene:
H(v) = pi * rep1 * [rect(4v-1)+rect(4v+1)]
Si tratta di finestre rettangolari di "larghezza" 1/4, centrate in 1/4 e -1/4 e replicate con passo unitario. Dopo averle rappresentate graficamente, mi sono accorto che è possibile anche scrivere:
H(v) = pi * rep1/2 * [rect(4v-1)]
ovvero, un unico "treno" (anziché due) di finestre rettangolari replicate con passo 1/2 (anziché 1).
Per quanto riguarda il resto, penso che il tuo procedimento sia più o meno equivalente al mio. Io ho scelto di calcolare prima la trasformata di Fourier X(v) del segnale periodico, poi di moltiplicarla per H(v) e infine di antitrasformare.
X(v) = 1/4 * sommatoria [da 0 a 3] di Xg(k/4)*delta_(v-k/4)
(delta_ = treno di delta)
Xg(v) = alfa*D2(v) + D4(v)
Andando a sostituire Xg nella sommatoria, ci si accorge che si possono fare delle semplificazioni per le proprietà della funzione di Dirichlet (si annulla in tutti i punti k/N0 e assume valore N0 nei punti "interi). I calcoli sono un po' troppi da scrivere e alcuni non sono proprio banali (troppo complicati per me da fare tutti in 2.5 ore, considerando anche gli altri esercizi); alla fine ottengo:
X(v) = (alfa/2 + 1)delta_(v) + alfa/4*(1-j)*delta_(v-1/4) + alfa/4*(1+j)*delta_(v-3/4)
Andando a moltiplicare con H(v), ragionando "graficamente", si ottiene che sopravvivono solo gli ultimi due treni di delta, perché il primo ("centrato" in zero) viene annullato sempre:
Y(v) = H(v)X(v) = alfa/4*(1-j)*delta_(v-1/4) + alfa/4*(1+j)*delta_(v-3/4)
Antitrasformando:
y(n) = alfa/4*e^(j*pi/2*n) - j*alfa/4*e^(j*pi/2*n) + alfa/4*e^(j*3*pi/2*n) + j*alfa/4*e^(j*pi/2*n)
Facendo semplificazioni e sfruttando proprietà degli esponenziali complessi (anche qui, calcoli un po' laboriosi):
y(n) = alfa/2*[cos(pi/2*n) + sin(pi/2*n)]
Il punto b è di facile soluzione, magari più tardi o domani lo posto.
Sono riuscito a svolgere il punto A) del primo esercizio.
Il risultato è f = 1/6 pi R C
per chiarimenti e dubbi, chiedete e posto lo svolgimento.
suggerimento: rileggetevi il paragrafo della banda ad alfa dB (pag 304 di "segnali e sistemi parte 2") con i relativi esempi. Inoltre serve conoscere le risposte in frequenza dei filtri passivi.
Con queste info e qualche ragionamento si risolve l'esercizio.
Il risultato è f = 1/6 pi R C
per chiarimenti e dubbi, chiedete e posto lo svolgimento.
suggerimento: rileggetevi il paragrafo della banda ad alfa dB (pag 304 di "segnali e sistemi parte 2") con i relativi esempi. Inoltre serve conoscere le risposte in frequenza dei filtri passivi.
Con queste info e qualche ragionamento si risolve l'esercizio.
Ultima modifica:
il risultato che ho scritto li è sbagliato, avevo intrapreso uno svolgimento errato.
L'esercizio si risolve scrivendo Py/Pz = -10 (ovviamente le potenze espresse in decibel)
quindi 10 log10 (py/pz) = -10
Visto che in ingresso c'è un fasore e la risp al fasore è H(f) * fasore. Ora non ricordo di preciso come, ma esce fuori
| H(f0) | ^2 = 10^-1 ---> | H(f0) | ^2 = 1/10
quindi si scrive la risp in frequenza (che dovrebbe essere quella di un filtro CR, cioè (jf/f3) / (1+(jf/f3) )
si impone questa = a 1/10 e si vede quanto viene. Me la spiegò il prof a ricevimento.