Per prima cosa devi tradurre le specifiche nel dominio della w.
a) Per avere eoo = 0 quando l'ingresso è a rampa (R(s) = 3/s^2) ti serve una funzione d'anello L(s) con almeno 2 poli nell'origine.
Dato che già ne hai uno in G, la parte statica del controllore sarà C(s) = μ/s con μ guadagno del controllore (da determinare successivamente).
b) s% < 40% <=> ξ > 0.28
Applicando la regola empirica (cfr. Bolzern pag. 302-304) hai un vincolo sul margine di fase: PM > 28°
c) ta1% < 10s
Sempre per la regola empirica questa specifica si traduce in ξ ωc > 4.6/10 ovvero ωc > 4.6/10*ξ > 4.6/2.8 = 1.64
d) La funzione di trasferimento d(t) -> y(t) è la funzione di sensitività S(s), qui si richiede che |S(jw)|dB < -40 dB nell'intervallo [0 , 0.2]
Approssimando |S(jw)| = 1/|L(jw)| in w<wc, si ha la specifica |L(jw)|dB > 40dB in [0 , 0.2]
e) La funzione di trasferimento n(t) -> y(t) è la funzione di sensitività complementare F(s), qui si richiede |F(jw)|dB < -20 dB in w>500.
Approssimando |F(jw)| = |L(jw)| in w>wc, si ha la specifica |L(jw)|dB < -20dB in ]500,inf[
A questo punto dalle specifiche c), d), e) hai una regione ammissibile del diagramma di Bode di |L(jw)|.
Traccia il diagramma di Bode della "prima" funzione d'anello che hai trovato, cioè L(jw) = G(jw) C(jw), ipotizzando (per comodità) μ = 1, dopo di che puoi procedere in due modi:
1) Scegli una ωc ammissibile (cioè tra 1.64 e 500), valuta il margine di fase in ωc, così da quantificare l'anticipo di fase di cui hai bisogno per ottenere PM > 28°.
Fatto questo devi scegliere un'opportuna rete anticipatrice che ti garantisca l'anticipo di fase cercato.
Ad esempio per ωc = 3 hai arg(L(jωc)) = -180° -atan(ωc/15) = -191° quindi hai bisogno di un anticipo di fase di almeno 39°.
Una possibile rete anticipatrice ha uno zero in ωc (che ti dà un anticipo di fase in ωc pari ad atan(1) = 45° ). Il polo, che ti dà solo fastidio ai fini dell'anticipo di fase, in genere è necessario per garantire la fisica realizzabilità del controllore (la fdt del controllore dev'essere razionale propria). Dato che qui abbiamo già aggiunto un polo nell'origine quando abbiamo definito la parte statica del controllore, non è necessario inserirne un altro. In definitiva Rlead(s) = μlead (1 + s/3) (praticamente il polo della rete lead è all'infinito) e il controllore complessivo è μ*μlead (1+s/3)/s.
Così facendo L(s) = G(s) C(s) Rlead(s), la cui fase in ωc=3 vale -180° -atan(ωc/15) +45° ==> PM = 34° circa.
A questo punto scegli μ*μlead tale che |Rlead(j3) G(j3) C(j3)| =1 . Per esempio μlead=1 e μ=... da calcolare.
Si vede subito che con questa scelta è soddisfatta automaticamente la d), infatti il diagramma di Bode asintotico di L interseca l'asse 0dB in w=3 con pendenza -40dB/decade, quindi |L(j0.3)|dB=40dB e immediatamente |L(jw)|dB > 40dB in [0, 0.2].
Si vede subito che anche la e) è soddisfatta.
Nell'immagine allegata c'è il diagramma di Bode finale.
2) Partendo da L(s) = G(s) C(s), scegli μ tale che sia soddisfatta la d), valuti la ωc risultante e procedi come sopra calcolando l'anticipo di fase necessario e tarando una opportuna rete anticipatrice.
In generale per approcciare questi esercizi, che quando hai acquisito un po' di pratica si fanno a occhio, ti consiglio di tradurre le specifiche nel dominio della w, determinare la regione ammissibile del diagramma di Bode, tracciare il diagramma di Bode della prima funzione d'anello (quella data dal prodotto di G(s) per la parte statica del controllore) e in base alle regioni ammissibili decidere che forma vuoi dare al diagramma di Bode della funzione d'anello finale.
