Prova 6/7/15 Gelli - Verde

[megone]

Discutiamone qui!
Io comincio col 3 esercizio (probabilità), scrivo i risultati che mi sono trovato:

punto a) V e W sono : non ortogonali (ρ = 24); non incorrelate ( Cov [v,w] = 6 ) e di conseguenza
non incorrelate ==> non indipendenti.

punto b) La var. aleatoria U = V + W è una combinazione lineare di due var. aleatorie gaussiane, quindi anch'essa gaussiana. Quindi per avere la pdf basta sapere media e varianza di U.
E (U) = 9
VAR (U) = 92.

Ovviamente non assicuro la correttezza dei risultati xD Se vi trovate con risultati diversi scrivete le vostre soluzioni e magari le confrontiamo!

 

[Regulus]

Dove è possibile trovare la traccia?

[EDIT]

La traccia è stata inserita tra quelle disponibili sul sito del professore.

 

[Emanzz]

Sul punto a mi trovo. Per quanto riguarda la VAR(U) l'ho calcolata come VAR(V+W)=VAR(V)+VAR(W)+2E(VW), tuttavia per calcolare VAR(V) E VAR(W) c'è voluto un po' di tempo perché ho utilizzato la relazione VAR(W)=E[(W-E(W))^2]=E(W^2-2WE(W)+E(W)^2). Tu hai utilizzato qualche altro procedimento????
Invece sull'esercizio numero 1:
punto a) mi sono trovato i coefficienti della serie di Fourier con la formula di Poisson: Xk=1/(1+j2pik)-(exp(-j2pikf0+1))/(1/(1+j2pik)) (Per f0 intendo l'inverso del periodo T0 del segnale d'ingresso e per pi intendo pigreco) . Diciamo che è un po' complicato scrivere così xD
punto b) Poiché si tratta di un sistema LTI con risposta in frequenza avente banda rigorosamente limitata è tipo un passabasso, infatti se consideriamo H(kf0)(Perché il segnale d'ingresso è periodico)=rect(k/5) finestra rettangolare centrata in zero e di ampiezza 5( va da -5/2 a +5/2) quindi le uniche armoniche del segnale di partenza che passano sono quelle per k=0,+-1,+-2. Quindi y(t) è la somma dei coefficienti Xk*H(kf0)*exp(j2pikf0t) per k che v da -2 a +2.
punto c) La media temporale del segnale coincide con il coefficiente della serie di Fourier per k=0(La componente continua). Invece per la potenza ho usato l'uguaglianza di parseval, chiaramente essendo un segnale di potenza la sua energia è infinita.
Logicamente non so se i risultati che ho scritto siano corretti, però, a meno di grosse sviste, il procedimento DOVREBBE essere questo.

 

[Regulus]

Esercizio 1
(a) Non riesco a capire bene il tuo risultato (purtroppo il Forum non permette di scrivere formule matematiche), ma il mio è:

Xk = (1 - 1/e) / (1 + j*2*pi*k)

(b) Credo che si può scrivere addirittura che il segnale è uguale alla somma solo di Xk per k che va da -2 a 2, visto che H(kf0) dovrebbe essere uguale a 1;

(c) Mi trovo come te.

Esercizio 2
(a) Scomponendo la frazione in due frazioni e mettendo in evidenza e^(j*2*pi*v) al denominatore, H(v) diventa la somma della trasformata dell'impulso monolatero a TD più una sua traslata. Quindi mi trovo:

h(n) = (0.5)^n * u(n) + (0.5)^(n-1) * u(n-1)

La rappresentazione grafica non è difficile, basta armarsi di calcolatrice e pazienza;

(b) Ho calcolato s(n) come la somma corrente di h(n): con alcune sostituzioni si arriva a calcolare la somma di due serie geometriche con un numero finito di elementi. Dopo un po' di manipolazioni algebriche, il mio risultato finale è:

s(n) = 4 - 3/2^n

Non so se è corretto, ma comunque è possibile scriverlo in tanti modi diversi; se vi trovate qualche altra cosa non è detto che sia sbagliato, potrebbe essere solo un altro modo di scrivere la stessa cosa.

Per la rappresentazione grafica, come sopra.

(c) Ho usato direttamente la convoluzione tra x(n) e h(n). Partendo dalla definizione di convoluzione e sfruttando il fatto che i gradini si annullano per determinati valori delle variabili, si può semplificare l'espressione e arrivare a delle somme geometriche (i conti sono troppo lunghi per scriverli). Il mio risultato finale è:

y(n) = (6*2^n - 5)/4^n

Per questo risultato valgono le stesse considerazioni fatte per il punto b.

Esercizio 3
Mi trovo con i procedimenti scritti prima di me. Emanzz, io per la varianza ho usato la relazione VAR(U) = E(U^2) - E(U)^2. Per calcolare E[U^2] ho svolto il quadrato all'interno della media e ho fatto tutti i conti. Effettivamente è un po' lungo, ma è semplice. Mi limito a scrivere i miei risultati.

(a) CORR(V,W) = 24 -> non sono ortogonali;
COV(V,W) = 6 -> non sono incorrelate -> non sono indipendenti;

(b) E(U) = 9
VAR(U) = 30

U è quindi una variabile aleatoria gaussiana con media 9 e deviazione standard rad(30).

 

[Emanzz]

La trasformata di Fourier l'ho fatta così, non so se è fatta bene, dimmi tu.

 

[paolo9405]

Scusate come avete svolto Corr(V,W) ?

a me viene 14

 

[megone]

Sul punto a mi trovo. Per quanto riguarda la VAR(U) l'ho calcolata come VAR(V+W)=VAR(V)+VAR(W)+2E(VW), tuttavia per calcolare VAR(V) E VAR(W) c'è voluto un po' di tempo perché ho utilizzato la relazione VAR(W)=E[(W-E(W))^2]=E(W^2-2WE(W)+E(W)^2). Tu hai utilizzato qualche altro procedimento????

ho fatto proprio come hai fatto tu!

riguardo il primo esercizio...io mi blocco sulla trasformata di xg(t). Sicuramente non va presa così com'è perchè c'è un prodotto tra due funzioni che in frequenza diventerebbe una convoluzione. Troppo complicato.
Io ho provato con la definizione di trasformata (eq. di analisi, quella con l'integrale) visto che la rect nell'integrale "agisce" cambiando l'intervallo, quindi mi ritrovo con un integrale tra [0, T0] di [ exp(-t/T0) exp(-j2PIft) dt ] ma anche questa strada non mi ha portato a nulla.
All'idea di riscrivere la rect come differenza di gradini non ci avevo proprio pensato!! Ma non capisco perchè scrivi [u(t) - u(t/T0 - 1) ] , non è più semplice scrivere [u(t) - u(t - T0)] ?

edit: facendo come ho detto io, mi trovo il risultato come il tuo a differenza dell'esponenziale che è exp(-j2kPI), però non credo sia giusto perchè tutti i coefficienti, con qualsiasi K vengono sempre 0

 

[megone]

Scusate come avete svolto Corr(V,W) ?

a me viene 14

Corr(V,W) = E(V,W) = E [ (2X+Y) (3X-2Z+5) ] = E [6X^2 - 4XZ + 10X + 3XY - 2YZ + 5Y] e quindi si fattorizza questa media della somma in una somma di medie = E [6X^2] - E[4XZ] ....ecc...
ora tenendo conto che: X, Y e Z hanno media unitaria, e che E[XY] = E[XZ] = E[YZ] = 1; (perchè sono indipendenti e quindi incorrelate, quindi E(XY) = E(X) E(Y) = 1)
rimane da calcolare quel 6 E [ X^2 ]. questo si ricava da una formula della varianza, quindi E [X^2] = VAR [X] + E^2 [X] = 1 + 1 = 2 (ricordo media unitaria e varianza unitaria)
quindi alla fine viene 6 E [X^2] + 12 = 12 + 12 = 24.
O almeno io mi sono trovato cosi xD

 

[paolo9405]

Corr(V,W) = E(V,W) = E [ (2X+Y) (3X-2Z+5) ] = E [6X^2 - 4XZ + 10X + 3XY - 2YZ + 5Y] e quindi si fattorizza questa media della somma in una somma di medie = E [6X^2] - E[4XZ] ....ecc...
ora tenendo conto che: X, Y e Z hanno media unitaria, e che E[XY] = E[XZ] = E[YZ] = 1; (perchè sono indipendenti e quindi incorrelate, quindi E(XY) = E(X) E(Y) = 1)
rimane da calcolare quel 6 E [ X^2 ]. questo si ricava da una formula della varianza, quindi E [X^2] = VAR [X] + E^2 [X] = 1 + 1 = 2 (ricordo media unitaria e varianza unitaria)
quindi alla fine viene 6 E [X^2] + 12 = 12 + 12 = 24.
O almeno io mi sono trovato cosi xD

Si @megone ora mi trovo come te. Stessso tuo procedimento, solo uno stupido errore di segno . thks

 

[Emanzz]

ho fatto proprio come hai fatto tu!

riguardo il primo esercizio...io mi blocco sulla trasformata di xg(t). Sicuramente non va presa così com'è perchè c'è un prodotto tra due funzioni che in frequenza diventerebbe una convoluzione. Troppo complicato.
Io ho provato con la definizione di trasformata (eq. di analisi, quella con l'integrale) visto che la rect nell'integrale "agisce" cambiando l'intervallo, quindi mi ritrovo con un integrale tra [0, T0] di [ exp(-t/T0) exp(-j2PIft) dt ] ma anche questa strada non mi ha portato a nulla.
All'idea di riscrivere la rect come differenza di gradini non ci avevo proprio pensato!! Ma non capisco perchè scrivi [u(t) - u(t/T0 - 1) ] , non è più semplice scrivere [u(t) - u(t - T0)] ?

edit: facendo come ho detto io, mi trovo il risultato come il tuo a differenza dell'esponenziale che è exp(-j2kPI), però non credo sia giusto perchè tutti i coefficienti, con qualsiasi K vengono sempre 0

L'ho fatta così perché quando vai a fare la trasformata di F [u(t/T0 - 1)*exp(-t/T0)] moltiplicando e dividendo per "e" (Numero di Nepero) ti trovi che sia il gradino sia la exp sono traslati di un'unità, applichi la propietà di traslazione nel tempo e successivamente quella del cambiamento di scala( Entrambi hanno t/T0), infine hai la trasformata notevole del gradino moltiplicato l'esponenziale.

 

[megone]

ieri sono andato al ricevimento. Per quanto riguarda il 3 esercizio, confermo i risultati di Regulus: VAR (U) = 30 e E(U) = 9;
esercizio 2: i punti a) e b) di Regulus sono corretti, il punto c) il prof suggeriva (per abbreviare i calcoli) di fare il prodotto in frequenza, veniva un rapporto del tipo (z+1) / (z-qualcosa)(z-qualcosa) insomma un fratto del 2 ordine che andava scomposto in fratti semplici, e i due coefficienti poi risultano -6 e 5. Va bene anche come l'hai svolto tu ma cosi i conti sono più lunghi.