Ragazzi ho un problema grande con questa prova. Il primo esercizio è abbordabile( Se a qualcuno serve lo svolgimento lo posso spiegare), l'esercizio sulla variabile aleatoria non l'ho proprio capito! Chiede di fare la caratterizzazione sintetica e poi completa della coppia (X,Y) costituita da due variabili aleatorie discrete. Se qualcuno può dargli uno sguardo e postare come lo risolverebbe mi farebbe un grande piacere.
Prova Verde 03/10/14
- Autore discussione Emanzz
- Data d'inizio
Eccomi 
ESERCIZIO 3, punto a.
La caratterizzazione sintetica della coppia di V.A. comprende correlazione e covarianza. Quindi dobbiamo calcolarci necessariamente la media e la varianza.
Sappiamo che le due variabili sono identicamente distribuite, entrambe hanno la stessa probabilità di assumere gli stessi valori, di conseguenza la stessa media.
Quindi sappiamo che questo vale x entrambe:
P(0) = 1/4
P(A) = 3/4
per la media facciamo: E (X) = E (Y) = 0 * 1/4 + A * 3/4 = A* 3/4
la varianza la possiamo calcolare in due modi:
un modo è con la formula Var(X) = E(x^2) - E^2 (x)
E(x^2) = o^2 * 3/4 + A^2 * 3/4 = A^2 * 3/4
E^2(x) = [A*3/4]^2 = A^2 * 9/16
e quindi viene VAR ( X) = A^2 * 3/16
un altro modo è seguire la definizione per le var. discrete: p (xi) (xi - u) ^2.
Ora per calcolare la covarianza sfruttiamo la formula 2.5.18 del formulario, cioè quella col coefficiente di correlazione.
Al denominatore c'è il prodotto di due momenti centrali, ma essendo uguali σx e σy, il loro prodotto è σ^2 cioè la varianza!
Quindi , facendo la formula inversa, troviamo COV (X,Y) = A^2 * 3/32
Per la correlazione: CORR (X,Y) = COV (X,Y) + E(X) E(Y) e mi viene A^2 * 21/32
per quanto riguarda il primo...mi dici quanto ti trovi con i coefficienti?
ESERCIZIO 3, punto a.
La caratterizzazione sintetica della coppia di V.A. comprende correlazione e covarianza. Quindi dobbiamo calcolarci necessariamente la media e la varianza.
Sappiamo che le due variabili sono identicamente distribuite, entrambe hanno la stessa probabilità di assumere gli stessi valori, di conseguenza la stessa media.
Quindi sappiamo che questo vale x entrambe:
P(0) = 1/4
P(A) = 3/4
per la media facciamo: E (X) = E (Y) = 0 * 1/4 + A * 3/4 = A* 3/4
la varianza la possiamo calcolare in due modi:
un modo è con la formula Var(X) = E(x^2) - E^2 (x)
E(x^2) = o^2 * 3/4 + A^2 * 3/4 = A^2 * 3/4
E^2(x) = [A*3/4]^2 = A^2 * 9/16
e quindi viene VAR ( X) = A^2 * 3/16
un altro modo è seguire la definizione per le var. discrete: p (xi) (xi - u) ^2.
Ora per calcolare la covarianza sfruttiamo la formula 2.5.18 del formulario, cioè quella col coefficiente di correlazione.
Al denominatore c'è il prodotto di due momenti centrali, ma essendo uguali σx e σy, il loro prodotto è σ^2 cioè la varianza!
Quindi , facendo la formula inversa, troviamo COV (X,Y) = A^2 * 3/32
Per la correlazione: CORR (X,Y) = COV (X,Y) + E(X) E(Y) e mi viene A^2 * 21/32
per quanto riguarda il primo...mi dici quanto ti trovi con i coefficienti?
Ultima modifica da un moderatore:
punto b)
la caratterizzazione completa consiste nella DF congiunta : P xy (x,y)
[nota: ogni volta che scrivo la DF, i due xy fuori dalla parentesi si intendono al pedice di P!]
Tra i parametri che abbiamo calcolato finora, quello legato alla distribuzione congiunta è la CORRELAZIONE!
Infatti nella definizione per variabili continue troviamo l'integrale doppio di [xy f(x,y)]. Nel campo discreto scrivo
E(X,Y) = Σ Σ xi yi P xy (xi,yi) , qui conosciamo i valori che assumono le due variabili (sono due, 0 e A) ma non la distribuzione P xy (xi,yi) quindi svolgo lasciandola incognita:
0 0 P xy (0,0) + 0 A P xy (0,A) + A 0 P xy (A,0) + A A P xy (A,A) = A^2 p(A,A) , visto che i primi 3 termini si annullano per la presenza degli zeri.
Quindi abbiamo E(X,Y) = A^2 * 21/32 = A^2 P xy (A,A) ---> P xy (A,A) = 21/32.
Per scoprire tutti e 4 i casi, calcoliamo le DF marginali (visto che noi le conosciamo, possiamo sfruttarle!)
P x (xi) = sommatoria rispetto a Y di P xy (x,y) quindi:
P x (A) = P xy (A,0) + P xy (A,A) ---> 3/4 = P xy (A,0) + 21/32 ---> P xy (A,0) = 3/32.
.....
le altre 2 le lascio a te, penso che hai capito il meccanismo
la caratterizzazione completa consiste nella DF congiunta : P xy (x,y)
[nota: ogni volta che scrivo la DF, i due xy fuori dalla parentesi si intendono al pedice di P!]
Tra i parametri che abbiamo calcolato finora, quello legato alla distribuzione congiunta è la CORRELAZIONE!
Infatti nella definizione per variabili continue troviamo l'integrale doppio di [xy f(x,y)]. Nel campo discreto scrivo
E(X,Y) = Σ Σ xi yi P xy (xi,yi) , qui conosciamo i valori che assumono le due variabili (sono due, 0 e A) ma non la distribuzione P xy (xi,yi) quindi svolgo lasciandola incognita:
0 0 P xy (0,0) + 0 A P xy (0,A) + A 0 P xy (A,0) + A A P xy (A,A) = A^2 p(A,A) , visto che i primi 3 termini si annullano per la presenza degli zeri.
Quindi abbiamo E(X,Y) = A^2 * 21/32 = A^2 P xy (A,A) ---> P xy (A,A) = 21/32.
Per scoprire tutti e 4 i casi, calcoliamo le DF marginali (visto che noi le conosciamo, possiamo sfruttarle!)
P x (xi) = sommatoria rispetto a Y di P xy (x,y) quindi:
P x (A) = P xy (A,0) + P xy (A,A) ---> 3/4 = P xy (A,0) + 21/32 ---> P xy (A,0) = 3/32.
.....
le altre 2 le lascio a te, penso che hai capito il meccanismo
Grande @megone ! Comunque per il primo esercizio:
punto a) Dopo aver moltiplicato, usato le formule di Werner, ho usato la formula di Eulero per utilizzare il metodo di ispezione (cioè andare a vedere proprio i coefficienti di Fourier, questo metodo si può usare se il segnale d'ingresso è costituito da fasori o sinusoidi). I coefficienti che escono fuori sono quelli per k=+-9,k=+-10,k=+-11 e sono:
per k=+-9 -> A/2;
per k=+-10 -> 1/2;
per k=-11-> A/2;
punto b) Mi sono calcolato z(t) come quadrato del segnale di partenza. Mi escono fuori i seguenti coseni:
uno a frequenza f0, uno con frequenza 2f0, uno con frequenza 18f0, uno con frequenza 19f0, uno con frequenza 20f0,uno con frequenza 21f0, uno con frequenza 22f0, due termini noti (1/2 + (A^(2))/4). Poiché il sistema in cui viene messo z(t) è un passa basso con banda Bx=(-5f0,5f0), i coseni che passano sono quelli con frequenza contenuta in questo intervallo (Basta fare la trasformata di Fourier di tutto il segnale z(t) e andare a vedere quali impulsi entrano nella banda Bx, eliminare quelli che non sono contenuti in questa banda ed infine antitrasformare). Quindi il segnale d'uscita è y(t)=1/2+(A^(2))/4+Acos(2pif0t)+((A^(2))/4)*cos(2pi2f0t).
punto c in arrivo.
punto a) Dopo aver moltiplicato, usato le formule di Werner, ho usato la formula di Eulero per utilizzare il metodo di ispezione (cioè andare a vedere proprio i coefficienti di Fourier, questo metodo si può usare se il segnale d'ingresso è costituito da fasori o sinusoidi). I coefficienti che escono fuori sono quelli per k=+-9,k=+-10,k=+-11 e sono:
per k=+-9 -> A/2;
per k=+-10 -> 1/2;
per k=-11-> A/2;
punto b) Mi sono calcolato z(t) come quadrato del segnale di partenza. Mi escono fuori i seguenti coseni:
uno a frequenza f0, uno con frequenza 2f0, uno con frequenza 18f0, uno con frequenza 19f0, uno con frequenza 20f0,uno con frequenza 21f0, uno con frequenza 22f0, due termini noti (1/2 + (A^(2))/4). Poiché il sistema in cui viene messo z(t) è un passa basso con banda Bx=(-5f0,5f0), i coseni che passano sono quelli con frequenza contenuta in questo intervallo (Basta fare la trasformata di Fourier di tutto il segnale z(t) e andare a vedere quali impulsi entrano nella banda Bx, eliminare quelli che non sono contenuti in questa banda ed infine antitrasformare). Quindi il segnale d'uscita è y(t)=1/2+(A^(2))/4+Acos(2pif0t)+((A^(2))/4)*cos(2pi2f0t).
punto c in arrivo.
punto c) Calcoliamo i coefficienti della serie di Fourier di y(t):
per k=0 -> 1/2+(A^(2))/4;
per k=+-1 -> A/2;
per k=+-2 -> (A^(2))/8;
Quindi y(t) si scrive come somma per k che va da -2 a 2 dei coeff. di Fourier moltiplicato i fasori a frequenza k-esima(Formula della serie di Fourier per i segnali periodici). L'armonica fondamentale è quella per k=+-1 e la seconda armonica è quella per k=+-2, quindi bisogna risolvere una banale equazione data dalla potenza del coseno a frequenza pari a f0 posto uguale a quella del coseno con frequenza pari a 2f0 +6:
Px ->pot. coseno f0
Py-> pot. coseno 2f0
Px=Py+6.
Ovviamente le potenze devono essere rappresentate in DECIBEL.
Dimmi se ti trovi con questi ragionamenti oppure c'è qualcosa che non va =).
per k=0 -> 1/2+(A^(2))/4;
per k=+-1 -> A/2;
per k=+-2 -> (A^(2))/8;
Quindi y(t) si scrive come somma per k che va da -2 a 2 dei coeff. di Fourier moltiplicato i fasori a frequenza k-esima(Formula della serie di Fourier per i segnali periodici). L'armonica fondamentale è quella per k=+-1 e la seconda armonica è quella per k=+-2, quindi bisogna risolvere una banale equazione data dalla potenza del coseno a frequenza pari a f0 posto uguale a quella del coseno con frequenza pari a 2f0 +6:
Px ->pot. coseno f0
Py-> pot. coseno 2f0
Px=Py+6.
Ovviamente le potenze devono essere rappresentate in DECIBEL.
Dimmi se ti trovi con questi ragionamenti oppure c'è qualcosa che non va =).
Ah e ho una domanda da farti: come hai fatto a scrivere la correlazione "discreta"? Cioè questa formula che hai usato c'è scritta sul libro o l'hai intuita tu essendo le variabili aleatorie discrete?
sul libro ce n'è una simile nel teorema fondamentale della media per una coppia di var. aleatorie, in cui la media con doppio integrale viene espressa anche per le var. discrete. Allora ho preso spunto da quella, ma la correlazione proprio non c'è